Control Systems/System Modeling

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控制过程

控制工程师的工作是分析现有系统，并设计新系统以满足特定需求。 有时需要设计新的系统，但更常见的是需要设计控制器单元来提高现有系统的性能。 在设计系统或实施控制器以扩充现有系统时，我们需要遵循一些基本步骤：

1. 对系统进行数学建模
2. 分析数学模型
3. 设计系统/控制器
4. 实现系统/控制器并进行测试

本书的绝大多数内容将集中在 (2)，数学系统的分析上。 本章将专门讨论系统的数学建模。

外部描述

系统的外部描述将系统输入与系统输出相关联，而没有明确考虑系统的内部工作原理。 系统的外部描述有时也称为系统的输入-输出描述，因为它只处理系统的输入和输出。

文件:Time-Domain Transfer Block.svg

如果系统可以用数学函数h(t，r)来表示，其中t是观察到输出的时间，而r是施加输入的时间。 我们可以通过使用积分将系统函数h(t，r)与输入 x 和输出 y 联系起来:

[General System Description]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t, r)x(r)dr}

这种积分形式适用于所有线性系统，每个线性系统都可以用这样的方程来描述。

如果系统是因果的(即，t=r处的输入仅影响系统行为)并且在t=0之前没有系统的输入， 我们可以改变积分的限制:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \int_0^t h(t, r)x(r)dr}

时不变系统

此外，如果一个系统是时不变的，我们可以重写系统描述方程如下：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \int_0^t h(t - r)x(r)dr}

这个方程被称为 卷积积分，我们将在下一章更多地讨论它。

每个线性时不变（LTI）系统都可以与拉普拉斯变换（Laplace Transform）一起使用，这是一个强大的工具，使我们能够将方程从时域转换到S域（其中许多计算更容易）。 时变系统不能与拉普拉斯变换一起使用。

内部描述

如果一个系统是线性集总的，它也可以用一个称为状态空间方程的方程组来描述。 在状态空间方程中，我们使用变量x表示系统的内部状态。 然后，我们使用u作为系统输入，我们继续使用y作为系统输出。 比如我们可以写状态空间方程：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x'(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)}

当我们讲到现代控制一节时，我们将更多地讨论状态空间方程。

复杂的描述

LTI和集总系统也可以使用状态空间方程和拉普拉斯变换的组合来描述。 如果我们对上面列出的状态方程进行拉普拉斯变换，我们可以得到一组函数，称为传递矩阵函数。 我们将在后面的章节中讨论这些功能。

表示

总而言之，我们将准备一个表，其中包含各种系统属性以及用于描述系统的可用方法：

属性	状态空间 方程	拉普拉斯 变换	变换 矩阵
Linear, Time-Variant, Distributed	no	no	no
Linear, Time-Variant, Lumped	yes	no	no
Linear, Time-Invariant, Distributed	no	yes	no
Linear, Time-Invariant, Lumped	yes	yes	yes

我们将在本书后面讨论所有这些不同类型的系统表示。

分析

一旦使用上面列出的表示之一对系统进行建模，就需要对系统进行分析。 我们可以确定系统指标，然后将这些指标与我们的规范进行比较。 如果我们的系统符合规格，我们就完成了设计过程。 但是，如果系统不符合规范 (通常是这种情况)，则需要设计合适的控制器和补偿器并将其添加到系统中。

一旦控制器和补偿器设计完成，工作还没有结束：我们需要分析新的复合系统，以确保控制器正常工作。 此外，我们需要确保系统是稳定的：不稳定的系统可能是危险的。

频域

时域模型和频域模型通常优于早期设计。 频域模型直接获取扰动功率谱密度，直接利用传递函数，直接产生输出或残差功率谱密度。 答案是稳态响应。 通常情况下，控制器为0，因此稳态响应也是残余误差，将作为分析输出或报告指标。

表1：频域模型输入和输出

输入	模型	输出
PSD	Transfer Function	PSD

数学的简要概述

频域建模是确定系统对随机过程的脉冲响应的问题。

文件:FreqDomainBlocks.png

图1: 频域系统

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S_{YY}\left(\omega\right)=G^*\left(\omega\right)G\left(\omega\right)S_{XX}= \left | G\left(\omega\right)\right \vert S_{XX}} <ref>Sun, Jian-Qiao (2006). Stochastic Dynamics and Control, Volume 4. Amsterdam: Elsevier Science. 模板:ISBN.</ref>

其中

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S_{XX}\left(\omega\right)} 单边输入PSD在 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{magnitude^2}{Hz}}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G\left(\omega\right)} 是系统的频率响应函数，并且

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S_{YY}\left(\omega\right)} 是单侧输出PSD或自动功率谱密度函数。

频率响应函数， 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G\left(\omega\right)} , 与脉冲响应函数(传递函数)之间的关系为

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle g\left(\tau\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}H\left(\omega\right)\,d\omega}

请注意，有些教材会指出，这仅对固定的随机过程有效。 还有一些文献提出平稳和遍历，而还有一些文献则提出弱平稳过程。 有些文本不区分严格静止和弱静止。 从实践来看，经验法则是，如果输入过程的PSD从小时到小时和每天都是相同的，那么可以使用输入PSD，并且上述公式是有效的。

注释

<references /> 在ControlTheoryPro.com上查看完整的解释和示例

建模示例

控制系统中的建模通常是一个判断问题。 这种判断是通过创建模型和学习他人的模型而形成的。 ControlTheoryPro.com是一个有很多例子的网站。 以下是其中一些的链接

• 悬停直升机示例
• 反作用力矩抵消示例
• ControlTheoryPro.com所有示例的列表

制造

一旦系统设计妥当，我们就可以制作系统原型并对其进行测试。 假设我们的分析是正确的，并且我们的设计是好的，那么原型应该可以按预期工作。 现在我们可以继续制造和发布我们的完整系统。

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