“Control Systems/Transforms”的版本间差异

来自osdev
跳到导航 跳到搜索
（创建页面，内容为“{{Control Systems/Page|System Modeling|Transfer Functions}} == Transforms == There are a number of transforms that we will be discussing throughout this book, and the reader is assumed to have at least a small prior knowledge of them. It is not the intention of this book to teach the topic of transforms to an audience that has had no previous exposure to them. However, we will include a brief refresher here to refamiliarize people who maybe cannot remember th…”）
 
 
第1行： 第1行：
{{Control Systems/Page|System Modeling|Transfer Functions}}
{{Control Systems/Page|System Modeling|Transfer Functions}}


== Transforms ==
==变换==


There are a number of transforms that we will be discussing throughout this book, and the reader is assumed to have at least a small prior knowledge of them. It is not the intention of this book to teach the topic of transforms to an audience that has had no previous exposure to them. However, we will include a brief refresher here to refamiliarize people who maybe cannot remember the topic perfectly. If you do not know what the '''Laplace Transform''' or the '''Fourier Transform''' are yet, it is highly recommended that you use this page as a simple guide, and look the information up on other sources. Specifically, [[w:|Wikipedia]] has lots of information on these subjects.
我们将在本书中讨论许多变换，假定读者对这些转换至少有一点先验知识。 本书的目的不是要向以前没有接触过他们的听众讲授变换的主题。 然而，我们将在这里提供一个简短的复习，让那些可能记不清主题的人重新熟悉。 如果你还不知道拉普拉斯变换或傅立叶变换是什么，强烈建议你将本页作为简单的指南，并在其他来源上查找信息。 具体来说，[[w:|Wikipedia]] 有很多关于这些主题的信息。


=== Transform Basics ===
===变换基础===


A '''transform''' is a mathematical tool that converts an equation from one variable (or one set of variables) into a new variable (or a new set of variables). To do this, the transform must remove all instances of the first variable, the "Domain Variable", and add a new "Range Variable". Integrals are excellent choices for transforms, because the limits of the definite integral will be substituted into the domain variable, and all instances of that variable will be removed from the equation. An integral transform that converts from a domain variable ''a'' to a range variable ''b'' will typically be formatted as such:
'''变换'''是一种数学工具，它将方程从一个变量(或一组变量)转换为一个新变量(或一组新变量)。 为此，转换必须删除第一个变量 “域变量” 的所有实例，并添加一个新的 “”。 积分是变换的最佳选择，因为定积分的极限将被替换到域变量中，并且该变量的所有实例都将从方程中删除。 将域变量''a''转换为范围变量''b''的整数转换通常格式如下：


:<math>\mathcal{T}[f(a)] = F(b) = \int_C f(a)g(a,b)da</math>
:<math>\mathcal{T}[f(a)] = F(b) = \int_C f(a)g(a,b)da</math>


Where the function ''f(a)'' is the function being transformed, and ''g(a,b)'' is known as the '''kernel''' of the transform. Typically, the only difference between the various integral transforms is the kernel.
其中函数''f(a)''是被变换的函数，而''g(a,b)''被称为变换的 “内核”。 通常，各种积分变换之间的唯一区别是内核。


== Laplace Transform ==
==拉普拉斯变换==


{{Wikipedia|Laplace transform}}
{{Wikipedia|Laplace transform}}
{{MATLAB CMD|laplace|Control Systems/MATLAB}}
{{MATLAB CMD|laplace|Control Systems/MATLAB}}


The '''Laplace Transform''' converts an equation from the time-domain into the so-called "S-domain", or the '''Laplace domain''', or even the "Complex domain". These are all different names for the same mathematical space and they all may be used interchangeably in this book and in other texts on the subject. The Transform can only be applied under the following conditions:
'''拉普拉斯变换''' 将时域中的方程式转换为所谓的 “S域 “ 或 '''拉普拉斯域'''，甚至 “复域”。 这些都是同一数学空间的不同名称，它们都可以在本书和其他关于这个主题的文本中互换使用。 变换只能在以下条件下应用：
#The system or signal in question is analog.
#有问题的系统或信号是模拟的。
#The system or signal in question is Linear.
#所讨论的系统或信号是线性的。
#The system or signal in question is Time-Invariant.
#所讨论的系统或信号是时不变的。
#The system or signal in question is causal.
#有问题的系统或信号是因果关系。


The transform is defined as such:
变换是这样定义的:


{{eqn|Laplace Transform}}
{{eqn|Laplace Transform}}
:<math>\begin{matrix}F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty f(t) e^{-st}dt\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty f(t) e^{-st}dt\end{matrix}</math>


Laplace transform results have been tabulated extensively. More information on the Laplace transform, including a transform table can be found in [[Control Systems/Transforms Appendix|'''the Appendix''']].
拉普拉斯变换结果已被广泛制成表格。 有关拉普拉斯变换的更多信息，包括变换表，可在[[Control Systems/Transforms Appendix|'''附录''']]中找到。


If we have a linear differential equation in the time domain:
如果我们在时域中有一个线性微分方程:


:<math>\begin{matrix}y(t) = ax(t) + bx'(t) + cx''(t)\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}y(t) = ax(t) + bx'(t) + cx''(t)\end{matrix}</math>


With zero initial conditions, we can take the Laplace transform of the equation as such:
在零初始条件下，我们可以将方程的拉普拉斯变换取为：


:<math>\begin{matrix}Y(s) = aX(s) + bsX(s) + cs^2X(s)\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}Y(s) = aX(s) + bsX(s) + cs^2X(s)\end{matrix}</math>


And separating, we get:
分开后，我们会得到：


:<math>\begin{matrix}Y(s) = X(s)[a + bs + cs^2]\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}Y(s) = X(s)[a + bs + cs^2]\end{matrix}</math>


=== Inverse Laplace Transform ===
=== 拉普拉斯逆变换 ===


{{MATLAB CMD|ilaplace|Control Systems/MATLAB}}
{{MATLAB CMD|ilaplace|Control Systems/MATLAB}}


The '''inverse Laplace Transform''' is defined as such:
'''逆拉普拉斯变换'''的定义如下：
{{-}}
{{-}}
{{eqn|Inverse Laplace Transform}}
{{eqn|Inverse Laplace Transform}}
:<math>\begin{matrix}f(t)  
:<math>\begin{matrix}f(t)
         = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
         = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
         = {1 \over {2\pi i}}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} e^{st} F(s)\,ds\end{matrix}</math>
         = {1 \over {2\pi i}}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} e^{st} F(s)\,ds\end{matrix}</math>


The inverse transform converts a function from the Laplace domain back into the time domain.
逆变换将函数从拉普拉斯域转换回时间域。


=== Matrices and Vectors ===
=== 矩阵和向量 ===


The Laplace Transform can be used on systems of linear equations in an intuitive way. Let's say that we have a system of linear equations:
拉普拉斯变换可以直观地用于线性方程组。 假设我们有一个线性方程组：


:<math>\begin{matrix}y_1(t) = a_1x_1(t)\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}y_1(t) = a_1x_1(t)\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}y_2(t) = a_2x_2(t)\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}y_2(t) = a_2x_2(t)\end{matrix}</math>


We can arrange these equations into matrix form, as shown:
我们可以将这些方程排列成矩阵形式，如图所示:


:<math>\begin{bmatrix}y_1(t) \\ y_2(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 & 0 \\ 0 & a_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t) \\x_2(t)\end{bmatrix}</math>
:<math>\begin{bmatrix}y_1(t) \\ y_2(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 & 0 \\ 0 & a_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t) \\x_2(t)\end{bmatrix}</math>


And write this symbolically as:
并形式化地写下：


:<math>\mathbf{y}(t) = A\mathbf{x}(t)</math>
:<math>\mathbf{y}(t) = A\mathbf{x}(t)</math>


We can take the Laplace transform of both sides:
我们可以两边采用拉普拉斯变换：


:<math>\mathcal{L}[\mathbf{y}(t)] = \mathbf{Y}(s) = \mathcal{L}[A\mathbf{x}(t)] = A\mathcal{L}[\mathbf{x}(t)] = A\mathbf{X}(s)</math>
:<math>\mathcal{L}[\mathbf{y}(t)] = \mathbf{Y}(s) = \mathcal{L}[A\mathbf{x}(t)] = A\mathcal{L}[\mathbf{x}(t)] = A\mathbf{X}(s)</math>


Which is the same as taking the transform of each individual equation in the system of equations.
这与对方程组中的每个单独方程进行变换相同。


=== Example: RL Circuit ===
===示例：RL电路===


{{SideBox|For more information about electric circuits, see:<br>'''[[Circuit Theory]]'''}}
{{SideBox|有关电路的详细信息，请参阅：<br>'''[[Circuit Theory|电路理论]]'''}}


Here, we are going to show a common example of a first-order system, an '''RL Circuit'''. In an inductor, the relationship between the current, ''I'', and the voltage, ''V'', in the time domain is expressed as a derivative:
这里，我们将展示一阶系统的一个常见例子，一个“RL电路”。 在电感中，时间域中的电流I和电压V之间的关系表示为导数：


:<math>V(t) = L\frac{dI(t)}{dt}</math>
:<math>V(t) = L\frac{dI(t)}{dt}</math>


Where L is a special quantity called the "Inductance" that is a property of inductors.
其中L是称为 “电感” 的特殊量，它是电感器的属性。


{{TextBox|1=
{{TextBox|1=


[[Image:Series-RL.png|right|framed|Circuit diagram for the RL circuit example problem. V<sub>L</sub> is the voltage over the inductor, and is the quantity we are trying to find.]]
[[Image:Series-RL.png|right|framed|RL电路示例问题的电路图。 V<sub>L</sub>是电感上方的电压，是我们要查找的量。]]


Let's say that we have a 1st order RL series electric circuit. The resistor has resistance R, the inductor has inductance L, and the voltage source has input voltage V<sub>in</sub>. The system output of our circuit is the voltage over the inductor, V<sub>out</sub>. In the time domain, we have the following first-order differential equations to describe the circuit:
假设我们有一个1阶RL系列电路。 电阻器有电阻R，电感器有电感L，电压源有输入电压V<sub>in</sub>。 我们电路的系统输出是电感上的电压，V<sub>out</sub>。 在时域中，我们有以下一阶微分方程来描述电路:


:<math>V_{out}(t) = V_{L}(t) = L\frac{dI(t)}{dt}</math>
:<math>V_{out}(t) = V_{L}(t) = L\frac{dI(t)}{dt}</math>
:<math>V_{in}(t) = RI(t) + L\frac{dI(t)}{dt}</math>
:<math>V_{in}(t) = RI(t) + L\frac{dI(t)}{dt}</math>


However, since the circuit is essentially acting as a voltage divider, we can put the output in terms of the input as follows:
然而，由于电路本质上起着分压器的作用，我们可以按照如下输入方式输出：


:<math>V_{out}(t) = \frac{L\frac{dI(t)}{dt}}{RI(t) + L \frac{dI(t)}{dt}}V_{in}(t)</math>
:<math>V_{out}(t) = \frac{L\frac{dI(t)}{dt}}{RI(t) + L \frac{dI(t)}{dt}}V_{in}(t)</math>


This is a very complicated equation, and will be difficult to solve unless we employ the Laplace transform:
这是一个非常复杂的方程，除非我们使用拉普拉斯变换，否则将很难求解：


:<math>V_{out}(s) = \frac{Ls}{R + Ls}V_{in}(s)</math>
:<math>V_{out}(s) = \frac{Ls}{R + Ls}V_{in}(s)</math>


We can divide top and bottom by L, and move V<sub>in</sub> to the other side:
我们可以将顶部和底部除以L，并将V<sub>in</sub> 移动到另一侧:


:<math>\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{s}{\frac{R}{L} + s}</math>
:<math>\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{s}{\frac{R}{L} + s}</math>


And using a simple table look-up, we can solve this for the time-domain relationship between the circuit input and the circuit output:
通过简单的查表，我们可以解决电路输入和电路输出之间的时域关系：


:<math>\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{d}{dt}e^{\left(\frac{-Rt}{L}\right)}u(t)</math>}}
:<math>\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{d}{dt}e^{\left(\frac{-Rt}{L}\right)}u(t)</math>}}


=== Partial Fraction Expansion ===
===部分分数展开===
{{SideBox|For more information about Partial Fraction Expansion, see:<br>'''[[Calculus]]'''}}
{{SideBox|有关部分分数展开的更多信息，请参见:<br>'''[[Calculus|微积分]]'''}}
Laplace transform pairs are extensively tabulated, but frequently we have transfer functions and other equations that do not have a tabulated inverse transform. If our equation is a fraction, we can often utilize '''Partial Fraction Expansion''' (PFE) to create a set of simpler terms that will have readily available inverse transforms. This section is going to give a brief reminder about PFE, for those who have already learned the topic. This refresher will be in the form of several examples of the process, as it relates to the Laplace Transform. People who are unfamiliar with PFE are encouraged to read more about it in '''[[Calculus]]'''.
拉普拉斯变换对有广泛的表格，但我们经常有传递函数和其他方程没有表格反变换。 如果我们的方程是分数，我们通常可以利用'''部分分数展开''' (PFE) 来创建一组更简单的项，这些项将具有容易获得的逆变换。 本节将为已经学习过PFE主题的人简要介绍PFE。 由于它与拉普拉斯变换有关，因此该刷新程序将以该过程的几个示例的形式出现。 鼓励不熟悉PFE的人在 '''[[Calculus|微积分]]''' 中阅读更多有关PFE的信息。


=== Example: Second-Order System ===
=== 示例：二阶系统===


{{TextBox|1=If we have a given equation in the S-domain:
{{TextBox|1=如果我们在S域中有一个给定的方程：


:<math>F(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2}</math>
:<math>F(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2}</math>


We can expand it into several smaller fractions as such:
我们可以将其扩展为几个较小的部分:


:<math>F(s) = \frac{2s + 1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{(s + 1)} + \frac{B}{(s + 2)} = \frac{A(s+2)+B(s+1)}{(s + 1)(s + 2)}</math>
:<math>F(s) = \frac{2s + 1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{(s + 1)} + \frac{B}{(s + 2)} = \frac{A(s+2)+B(s+1)}{(s + 1)(s + 2)}</math>


This looks impossible, because we have a single equation with 3 unknowns (''s'', ''A'', ''B''), but in reality ''s'' can take any arbitrary value, and we can "plug in" values for ''s'' to solve for ''A'' and ''B'', without needing other equations. For instance, in the above equation, we can multiply through by the denominator, and cancel terms:
这看起来是不可能的，因为我们有一个包含3个未知数（''s''、''a''、''B''）的单一方程，但实际上''s''可以取任意值，我们可以“插入”s的值来求解''a''和''B''，而不需要其他方程。 例如，在上面的等式中，我们可以乘以分母，并取消项：


:<math>\frac{}{}(2s + 1) = A(s + 2) + B(s + 1)</math>
:<math>\frac{}{}(2s + 1) = A(s + 2) + B(s + 1)</math>


Now, when we set ''s &rarr; -2'', the ''A'' term disappears, and we are left with ''B &rarr; 3''. When we set ''s &rarr; -1'', we can solve for ''A &rarr; -1''. Putting these values back into our original equation, we have:
现在，当我们设置 ''s & rarr; -2 '时，''a'' 项消失了，我们剩下的是 “b & rarr; 3”。 当我们设定s&rarr-1“，我们可以解“A&rarr-1“”。 把这些值放回我们原来的方程式中，我们得到：


:<math>F(s) = \frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}</math>
:<math>F(s) = \frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}</math>


Remember, since the Laplace transform is a linear operator, the following relationship holds true:
请记住，由于拉普拉斯变换是线性算子，因此以下关系成立:


:<math>\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{s + 1}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{3}{(s + 2)}\right]</math>
:<math>\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{s + 1}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{3}{(s + 2)}\right]</math>


Finding the inverse transform of these smaller terms should be an easier process then finding the inverse transform of the whole function. Partial fraction expansion is a useful, and oftentimes necessary tool for finding the inverse of an S-domain equation.}}
求这些较小项的逆变换应该比求整个函数的逆变换更容易。 部分分数展开对于求S域方程的逆来说是一个有用的，而且常常是必要的工具。}}


=== Example: Fourth-Order System ===
=== 示例: 四阶制 ===


{{TextBox|1=If we have a given equation in the S-domain:
{{TextBox|1=如果我们在S域中有一个给定的方程：


:<math>F(s)=\frac{79s^2+916s+1000}{s(s+10)^3}</math>
:<math>F(s)=\frac{79s^2+916s+1000}{s(s+10)^3}</math>


We can expand it into several smaller fractions as such:
我们可以将其扩展为几个较小的分数，如下所示：


:<math>F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}</math>
:<math>F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}</math>
第154行： 第154行：
:<math>\frac{}{}A(s+10)^3+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^2=79s^2+916s+1000</math>
:<math>\frac{}{}A(s+10)^3+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^2=79s^2+916s+1000</math>


Canceling terms wouldn't be enough here, we will open the brackets <small>(separated onto multiple lines)</small>:
消去项在这里还不够，我们将打开括号 <small>(分隔为多行)</small>:


:<math>As^3+30As^2+300As+1000A+Bs+</math>
:<math>As^3+30As^2+300As+1000A+Bs+</math>
第160行： 第160行：
:<math>=79s^2+916s+1000</math>
:<math>=79s^2+916s+1000</math>


Let's compare coefficients:
让我们比较一下系数：


:''A + D = 0''
:''A + D = 0''
第167行： 第167行：
:''1000A = 1000''
:''1000A = 1000''


And solving gives us:
而解问题则给了我们：


:''A = 1''
:''A = 1''
第174行： 第174行：
:''D = -1''
:''D = -1''


We know from the Laplace Transform table that the following relation holds:
我们从拉普拉斯变换表中知道以下关系成立:


:<math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} \to \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math>
:<math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} \to \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math>


We can plug in our values for ''A'', ''B'', ''C'',  and ''D'' into our expansion, and try to convert it into the form above.
我们可以将''A''、''B''、''C''和''D''的值插入到扩展中，并尝试将其转换为上面的形式。


:<math>F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}</math>
:<math>F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}</math>
第188行： 第188行：
:<math>f(t)=u(t)+13t^2e^{-10t}+69te^{-10t}-e^{-10t}</math>}}
:<math>f(t)=u(t)+13t^2e^{-10t}+69te^{-10t}-e^{-10t}</math>}}


=== Example: Complex Roots ===
===示例：复根===


{{TextBox|1=Given the following transfer function:
{{TextBox|1=给定以下传递函数:


:<math>F(s)=\frac{7s+26}{s^2-80s+1681}=\frac{As+B}{s^2-80s+1681}</math>
:<math>F(s)=\frac{7s+26}{s^2-80s+1681}=\frac{As+B}{s^2-80s+1681}</math>


When the solution of the denominator is a complex number, we use a complex representation ''A + iB'', like ''3+i4'' as opposed to the use of a single letter (e.g. ''D'') - which is for real numbers:
当分母的解是复数时， 我们使用复数表示法''A+iB''，如''3+i4''，而不是使用单个字母(例如''D'') - 对于实数:


:''As + B = 7s + 26''
:''As + B = 7s + 26''
第200行： 第200行：
:''B = 26''
:''B = 26''


We will need to reform it into two fractions that look like this (without changing its value):
我们需要将其分成两部分，如下所示（不改变其值）：


:<math>e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>&rarr;<math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>
:<math>e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>&rarr;<math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>
第206行： 第206行：
:<math>e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>&rarr;<math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>
:<math>e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>&rarr;<math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>


Let's start with the denominator (for both fractions):
让我们从分母开始(对于两个分数)：


The roots of ''s<sup>2</sup> - 80s + 1681'' are ''40 + j9'' and ''40 - j9''.
''s<sup>2</sup> - 80s + 1681 ''的根是“ 40 + j9 ”和“ 40 - j9 ”。


:<math>(s+a)^2+\omega^2=(s-40)^2+9^2</math>&rarr;<math>\frac{As+B}{(s-40)^2+9^2}</math>
:<math>(s+a)^2+\omega^2=(s-40)^2+9^2</math>&rarr;<math>\frac{As+B}{(s-40)^2+9^2}</math>


And now the numerators:
现在分子是：


:<math>\frac{As+40A-40A+B}{(s-40)^2+9^2}</math>
:<math>\frac{As+40A-40A+B}{(s-40)^2+9^2}</math>
第220行： 第220行：
:<math>A\frac{(s-40)}{(s-40)^2+9^2}+\frac{B+40A}{9}\frac{9}{(s-40)^2+9^2}</math>
:<math>A\frac{(s-40)}{(s-40)^2+9^2}+\frac{B+40A}{9}\frac{9}{(s-40)^2+9^2}</math>


Inverse Laplace Transform:
拉普拉斯逆变换：


:<math>f(t)=7e^{40t}cos(9t)+34e^{40t}sin(9t)</math>
:<math>f(t)=7e^{40t}cos(9t)+34e^{40t}sin(9t)</math>
}}
}}


=== Example: Sixth-Order System ===
=== 示例: 六阶制 ===


{{TextBox|1=Given the following transfer function:
{{TextBox|1=给定以下传递函数：
:<math>F(s)=\frac{90s^2-1110}{s(s-3)(s^2-12s+37)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{Cs+D}{s^2-12s+37}</math>
:<math>F(s)=\frac{90s^2-1110}{s(s-3)(s^2-12s+37)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{Cs+D}{s^2-12s+37}</math>


We multiply through by the denominators to make the equation rational:
我们乘以分母，使方程式有理：


:<math>A(s-3)(s^2-12s+37)+Bs(s^2-12s+37)+(Cs+D)s(s-3)</math>
:<math>A(s-3)(s^2-12s+37)+Bs(s^2-12s+37)+(Cs+D)s(s-3)</math>
:<math>=90s^2-1110</math>
:<math>=90s^2-1110</math>


And then we combine terms:
然后我们合并项:


:<math>As^3-15As^2+73As-111A+Bs^3-12Bs^2+37Bs+Cs^3-3Cs^2+Ds^2-3Ds</math>
:<math>As^3-15As^2+73As-111A+Bs^3-12Bs^2+37Bs+Cs^3-3Cs^2+Ds^2-3Ds</math>
:<math>=90s^2-1110</math>
:<math>=90s^2-1110</math>


Comparing coefficients:
比较系数：


:''A + B + C = 0''
:''A + B + C = 0''
第247行： 第247行：
:''-111A = -1110''
:''-111A = -1110''


Now, we can solve for ''A'', ''B'', ''C'' and ''D'':
现在，我们可以解出''A''、''B''、''C''和''D''：


:''A = 10''
:''A = 10''
:''B = -10''
:''B = -10''
:''C = 0''  
:''C = 0''
:''D = 120''
:''D = 120''


And now for the "fitting":
现在为 “拟合”:


The roots of ''s<sup>2</sup> - 12s + 37'' are ''6 + j'' and ''6 - j''
“s<sup>2</sup>-12s + 37”的词根是“6 + j”和“6 - j”


:<math>A\frac{1}{s}+B\frac{1}{s-3}+C\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+D\frac{1}{(s-6)^2+1^2}</math>
:<math>A\frac{1}{s}+B\frac{1}{s-3}+C\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+D\frac{1}{(s-6)^2+1^2}</math>


No need to fit the fraction of ''D'', because it is complete; no need to bother fitting the fraction of ''C'', because ''C'' is equal to zero.
不需要拟合''D''的分数，因为它是完整的；不需要费心拟合''C''的分数，因为''C''等于零。


:<math>10\frac{1}{s}-10\frac{1}{s-3}+0\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+120\frac{1}{(s-6)^2+1^2}</math>
:<math>10\frac{1}{s}-10\frac{1}{s-3}+0\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+120\frac{1}{(s-6)^2+1^2}</math>
第266行： 第266行：
:<math>\frac{}{}f(t)=10u(t)-10e^{3t}+120e^{6t}sin(t)</math>}}
:<math>\frac{}{}f(t)=10u(t)-10e^{3t}+120e^{6t}sin(t)</math>}}


=== Final Value Theorem ===
=== 终值定理 ===


The '''Final Value Theorem''' allows us to determine the value of the time domain equation, as the time approaches infinity, from the S domain equation. In Control Engineering, the Final Value Theorem is used most frequently to determine the steady-state value of a system. The real part of the poles of the function must be <0.
'''终值定理'''允许我们在时间接近无穷大时，从S域方程确定时域方程的值。 在控制工程中，最常用的是终值定理来确定系统的稳态值。 函数极点的实部必须 <0。


{{eqn|Final Value Theorem (Laplace)}}
{{eqn|终值定理（拉普拉斯）}}
:<math>\lim_{t \to \infty}x(t) = \lim_{s \to 0} s X(s)</math>
:<math>\lim_{t \to \infty}x(t) = \lim_{s \to 0} s X(s)</math>


From our chapter on system metrics, you may recognize the value of the system at time infinity as the steady-state time of the system. The difference between the steady state value and the expected output value we remember as being the steady-state error of the system. Using the Final Value Theorem, we can find the steady-state value and the steady-state error of the system in the Complex S domain.
从我们关于系统度量的一章中，你可能会认识到系统在无限时间的价值就是系统的稳定时间。 稳态值和预期输出值之间的差我们记得是系统的稳态误差。 利用终值定理，我们可以在复S域中求出系统的稳态值和稳态误差。


=== Example: Final Value Theorem ===
===示例：终值定理===


{{TextBox|1=Find the final value of the following polynomial:
{{TextBox|1=求以下多项式的最终值:


:<math>T(s) = \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2}</math>
:<math>T(s) = \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2}</math>


We can apply the '''Final Value Theorem''':
我们可以应用'''终值定理'''：


:<math>\lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} </math>
:<math>\lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} </math>


We obtain the value:
我们获得的值为：


:<math>\lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} = 0 \cdot \frac{1+0}{1+2\cdot 0+0^2}=0 \cdot 1 = 0 </math>}}
:<math>\lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} = 0 \cdot \frac{1+0}{1+2\cdot 0+0^2}=0 \cdot 1 = 0 </math>}}


=== Initial Value Theorem ===
=== 初值定理 ===


Akin to the final value theorem, the '''Initial Value Theorem''' allows us to determine the initial value of the system (the value at time zero) from the S-Domain Equation. The initial value theorem is used most frequently to determine the starting conditions, or the "initial conditions" of a system.
与终值定理类似，'''初值定理'''允许我们从S域方程确定系统的初值（时间零点的值）。 初值定理最常用于确定系统的起始条件或“初始条件”。


{{eqn|Initial Value Theorem (Laplace)}}
{{eqn|初值定理 (拉普拉斯)}}
:<math>x(0) = \lim_{s \to \infty} s X(s)</math>
:<math>x(0) = \lim_{s \to \infty} s X(s)</math>


=== Common Transforms ===
===常见变换===


We will now show you the transforms of the three functions we have already learned about: The unit step, the unit ramp, and the unit parabola. The transform of the unit step function is given by:
我们现在将向你展示我们已经学习过的三个函数的变换： 单位台阶、单位坡道和单位抛物线。 单位阶跃函数的变换式如下：


:<math>\mathcal{L}[u(t)] = \frac{1}{s}</math>
:<math>\mathcal{L}[u(t)] = \frac{1}{s}</math>


And since the unit ramp is the integral of the unit step, we can multiply the above result times ''1/s'' to get the transform of the unit ramp:
由于单位斜率是单位步长的积分，因此我们可以将上述结果乘以''1/s''来得到单位斜率的变换：


:<math>\mathcal{L}[r(t)] = \frac{1}{s^2}</math>
:<math>\mathcal{L}[r(t)] = \frac{1}{s^2}</math>


Again, we can multiply by ''1/s'' to get the transform of the unit parabola:
再次，我们可以乘以''1/s''得到单位抛物线的变换:


:<math>\mathcal{L}[p(t)] = \frac{1}{s^3}</math>
:<math>\mathcal{L}[p(t)] = \frac{1}{s^3}</math>


== Fourier Transform ==
==傅里叶变换==


{{Wikipedia|Fourier Transform}}
{{Wikipedia|Fourier Transform}}


The '''Fourier Transform''' is very similar to the Laplace transform. The fourier transform uses the assumption that any finite time-domain signal can be broken into an infinite sum of sinusoidal (sine and cosine waves) signals. Under this assumption, the Fourier Transform converts a time-domain signal into its frequency-domain representation, as a function of the radial frequency, &omega;, The Fourier Transform is defined as such:
'''傅立叶变换'''与拉普拉斯变换非常相似。 傅里叶变换使用的假设是，任何有限时域信号都可以分解为正弦（正弦波和余弦波）信号的无限和。 在此假设下，傅里叶变换将时域信号转换为其频域表示，作为径向频率的函数， 傅立叶变换是这样定义的:


{{eqn|Fourier Transform}}
{{eqn|Fourier Transform}}
第321行： 第321行：
{{MATLAB CMD|fourier|Control Systems/MATLAB}}
{{MATLAB CMD|fourier|Control Systems/MATLAB}}


We can now show that the Fourier Transform is equivalent to the Laplace transform, when the following condition is true:
现在我们可以证明，当下列条件成立时，傅里叶变换等价于拉普拉斯变换：


:<math>\begin{matrix}s = j\omega\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}s = j\omega\end{matrix}</math>


Because the Laplace and Fourier Transforms are so closely related, it does not make much sense to use both transforms for all problems. This book, therefore, will concentrate on the Laplace transform for nearly all subjects, except those problems that deal directly with frequency values. For frequency problems, it makes life much easier to use the Fourier Transform representation.
因为拉普拉斯变换和傅立叶变换是如此密切相关，所以对所有问题都使用这两种变换没有多大意义。 因此，本书将集中讨论几乎所有主题的拉普拉斯变换，除了那些直接涉及频率值的问题。 对于频率问题，使用傅里叶变换表示法使问题变得容易得多。


Like the Laplace Transform, the Fourier Transform has been extensively tabulated. Properties of the Fourier transform, in addition to a table of common transforms is available in [[Control Systems/Transforms Appendix|'''the Appendix''']].
与拉普拉斯变换一样，傅立叶变换已被广泛列出。 除了常见变换表外，傅里叶变换的属性也可在[[Control Systems/Transforms Appendix|'''附录''']中找到。


=== Inverse Fourier Transform ===
===傅里叶逆变换===


{{MATLAB CMD|ifourier|Control Systems/MATLAB}}
{{MATLAB CMD|ifourier|Control Systems/MATLAB}}


The '''inverse Fourier Transform''' is defined as follows:
''' 傅立叶逆变换 ''' 定义如下:
{{-}}
{{-}}
{{eqn|Inverse Fourier Transform}}
{{eqn|Inverse Fourier Transform}}
:<math>f(t)  
:<math>f(t)
         = \mathcal{F}^{-1}\left\{F(j\omega)\right\}    
         = \mathcal{F}^{-1}\left\{F(j\omega)\right\}
         = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>
         = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>


This transform is nearly identical to the Fourier Transform.
这种变换与傅里叶变换几乎相同。


== Complex Plane ==
==复杂平面==


[[Image:S Plane.svg|right|200px]]
[[Image:S Plane.svg|right|200px]]


Using the above equivalence, we can show that the Laplace transform is always equal to the Fourier Transform, if the variable ''s'' is an imaginary number. However, the Laplace transform is different if ''s'' is a real or a complex variable. As such, we generally define ''s'' to have both a real part and an imaginary part, as such:
利用上述等价，我们可以证明拉普拉斯变换总是等于傅立叶变换，如果变量''s''是虚数。 然而，如果“s”是实变量或复变量，则拉普拉斯变换是不同的。 因此，我们通常将''s''定义为既有实部又有虚部，因此：


:<math>\begin{matrix}s = \sigma + j\omega\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}s = \sigma + j\omega\end{matrix}</math>


And we can show that ''s = j''&omega; if &sigma;'' = 0''.
我们可以证明 ''s = j'' & omega; 如果 & sigma;''= 0''。


Since the variable ''s'' can be broken down into 2 independent values, it is frequently of some value to graph the variable ''s'' on its own special "S-plane". The S-plane graphs the variable &sigma; on the horizontal axis, and the value of ''j''&omega; on the vertical axis. This axis arrangement is shown at right.
由于变量''s''可以分解为两个独立的值，因此将变量“s”绘制在其自己的特殊“s平面”上通常具有一定的价值。 S平面在水平轴上绘制变量&sigma；，在垂直轴上绘制''j''&omega；的值。 此轴排列显示在右侧。


{{-}}
{{-}}


== Euler's Formula ==
==欧拉公式==


There is an important result from calculus that is known as '''Euler's Formula''', or "Euler's Relation". This important formula relates the important values of ''e'', ''j'', &pi;, 1 and 0:
微积分有一个重要的结果，被称为'''欧拉公式'''或“欧拉关系”。 此重要公式关联了 “e”，“j”，& pi;，1和0的重要值:


:<math>\begin{matrix}e^{j\pi} + 1 = 0\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}e^{j\pi} + 1 = 0\end{matrix}</math>


However, this result is derived from the following equation, setting &omega; to &pi;:
然而，这个结果是从下面的方程式得出的，设&omega；为&pi；：


{{eqn|Euler's Formula}}
{{eqn|Euler's Formula}}
:<math>\begin{matrix}e^{j\omega} = \cos(\omega) + j\sin(\omega)\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}e^{j\omega} = \cos(\omega) + j\sin(\omega)\end{matrix}</math>


This formula will be used extensively in some of the chapters of this book, so it is important to become familiar with it now.
这个公式将在本书的一些章节中广泛使用，所以现在熟悉它是很重要的。


== MATLAB ==
== MATLAB ==


The MATLAB symbolic toolbox contains functions to compute the Laplace and Fourier transforms automatically. The function '''laplace''', and the function '''fourier''' can be used to calculate the Laplace and Fourier transforms of the input functions, respectively. For instance, the code:
MATLAB symbolic工具箱包含自动计算拉普拉斯和傅立叶变换的函数。 函数'''laplace'''和函数'''fourier'''可分别用于计算输入函数的laplace和fourier变换。 例如，代码：


  t = sym('t');
  t = sym('t');
第377行： 第377行：
  laplace(fx)
  laplace(fx)


produces the output:
产生输出:


  ans =
  ans =
 
  60/s^3+20/s^2
  60/s^3+20/s^2


We will discuss these functions more in [[Control Systems/MATLAB|The Appendix]].
我们将在[[Control Systems/MATLAB|附录]]中详细讨论这些函数。


== Further reading ==
==进一步阅读==


*[[Digital Signal Processing/Continuous-Time Fourier Transform]]
*[[Digital Signal Processing/Continuous-Time Fourier Transform]]

2022年5月18日 (三) 03:45的最新版本

The Wikibook of:

Control Systems

and Control Engineering

Table of Contents All Versions PDF Version
← System Modeling Transfer Functions → Glossary

{{#invoke:TScope|shiftLeft|BookCat/core|1 |namespace = |pagename =Control Systems/Transforms |fullpagename=Control Systems/Transforms |sortkey = }}

变换

我们将在本书中讨论许多变换，假定读者对这些转换至少有一点先验知识。 本书的目的不是要向以前没有接触过他们的听众讲授变换的主题。 然而，我们将在这里提供一个简短的复习，让那些可能记不清主题的人重新熟悉。 如果你还不知道拉普拉斯变换或傅立叶变换是什么，强烈建议你将本页作为简单的指南，并在其他来源上查找信息。 具体来说，Wikipedia 有很多关于这些主题的信息。

变换基础

变换是一种数学工具，它将方程从一个变量(或一组变量)转换为一个新变量(或一组新变量)。 为此，转换必须删除第一个变量 “域变量” 的所有实例，并添加一个新的 “”。 积分是变换的最佳选择，因为定积分的极限将被替换到域变量中，并且该变量的所有实例都将从方程中删除。 将域变量a转换为范围变量b的整数转换通常格式如下：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathcal{T}[f(a)] = F(b) = \int_C f(a)g(a,b)da}

其中函数f(a)是被变换的函数，而g(a,b)被称为变换的 “内核”。 通常，各种积分变换之间的唯一区别是内核。

拉普拉斯变换

创建缩略图出错：无法创建临时缩略图文件

Wikipedia has related information at Laplace transform

模板:MATLAB CMD

拉普拉斯变换 将时域中的方程式转换为所谓的 “S域 “ 或 拉普拉斯域，甚至 “复域”。 这些都是同一数学空间的不同名称，它们都可以在本书和其他关于这个主题的文本中互换使用。 变换只能在以下条件下应用：

  1. 有问题的系统或信号是模拟的。
  2. 所讨论的系统或信号是线性的。
  3. 所讨论的系统或信号是时不变的。
  4. 有问题的系统或信号是因果关系。

变换是这样定义的:


[Laplace Transform]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty f(t) e^{-st}dt\end{matrix}}

拉普拉斯变换结果已被广泛制成表格。 有关拉普拉斯变换的更多信息，包括变换表，可在附录中找到。

如果我们在时域中有一个线性微分方程:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}y(t) = ax(t) + bx'(t) + cx''(t)\end{matrix}}

在零初始条件下，我们可以将方程的拉普拉斯变换取为：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}Y(s) = aX(s) + bsX(s) + cs^2X(s)\end{matrix}}

分开后，我们会得到：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}Y(s) = X(s)[a + bs + cs^2]\end{matrix}}

拉普拉斯逆变换

模板:MATLAB CMD

逆拉普拉斯变换的定义如下： 模板:-

[Inverse Laplace Transform]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = {1 \over {2\pi i}}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} e^{st} F(s)\,ds\end{matrix}}

逆变换将函数从拉普拉斯域转换回时间域。

矩阵和向量

拉普拉斯变换可以直观地用于线性方程组。 假设我们有一个线性方程组：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}y_1(t) = a_1x_1(t)\end{matrix}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}y_2(t) = a_2x_2(t)\end{matrix}}

我们可以将这些方程排列成矩阵形式，如图所示:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{bmatrix}y_1(t) \\ y_2(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 & 0 \\ 0 & a_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t) \\x_2(t)\end{bmatrix}}

并形式化地写下：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathbf{y}(t) = A\mathbf{x}(t)}

我们可以两边采用拉普拉斯变换：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathcal{L}[\mathbf{y}(t)] = \mathbf{Y}(s) = \mathcal{L}[A\mathbf{x}(t)] = A\mathcal{L}[\mathbf{x}(t)] = A\mathbf{X}(s)}

这与对方程组中的每个单独方程进行变换相同。

示例：RL电路

有关电路的详细信息，请参阅：
电路理论

这里，我们将展示一阶系统的一个常见例子，一个“RL电路”。 在电感中，时间域中的电流I和电压V之间的关系表示为导数：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle V(t) = L\frac{dI(t)}{dt}}

其中L是称为 “电感” 的特殊量，它是电感器的属性。

文件:Series-RL.png
RL电路示例问题的电路图。 VL是电感上方的电压，是我们要查找的量。

假设我们有一个1阶RL系列电路。 电阻器有电阻R，电感器有电感L，电压源有输入电压Vin。 我们电路的系统输出是电感上的电压，Vout。 在时域中，我们有以下一阶微分方程来描述电路:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle V_{out}(t) = V_{L}(t) = L\frac{dI(t)}{dt}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle V_{in}(t) = RI(t) + L\frac{dI(t)}{dt}}

然而，由于电路本质上起着分压器的作用，我们可以按照如下输入方式输出：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle V_{out}(t) = \frac{L\frac{dI(t)}{dt}}{RI(t) + L \frac{dI(t)}{dt}}V_{in}(t)}

这是一个非常复杂的方程，除非我们使用拉普拉斯变换，否则将很难求解：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle V_{out}(s) = \frac{Ls}{R + Ls}V_{in}(s)}

我们可以将顶部和底部除以L，并将Vin 移动到另一侧:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{s}{\frac{R}{L} + s}}

通过简单的查表，我们可以解决电路输入和电路输出之间的时域关系：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{d}{dt}e^{\left(\frac{-Rt}{L}\right)}u(t)}

部分分数展开

有关部分分数展开的更多信息，请参见:
微积分

拉普拉斯变换对有广泛的表格，但我们经常有传递函数和其他方程没有表格反变换。 如果我们的方程是分数，我们通常可以利用部分分数展开 (PFE) 来创建一组更简单的项，这些项将具有容易获得的逆变换。 本节将为已经学习过PFE主题的人简要介绍PFE。 由于它与拉普拉斯变换有关，因此该刷新程序将以该过程的几个示例的形式出现。 鼓励不熟悉PFE的人在 微积分 中阅读更多有关PFE的信息。

示例：二阶系统

如果我们在S域中有一个给定的方程：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2}}

我们可以将其扩展为几个较小的部分:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s) = \frac{2s + 1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{(s + 1)} + \frac{B}{(s + 2)} = \frac{A(s+2)+B(s+1)}{(s + 1)(s + 2)}}

这看起来是不可能的，因为我们有一个包含3个未知数（s、a、B）的单一方程，但实际上s可以取任意值，我们可以“插入”s的值来求解a和B，而不需要其他方程。 例如，在上面的等式中，我们可以乘以分母，并取消项：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{}{}(2s + 1) = A(s + 2) + B(s + 1)}

现在，当我们设置 s & rarr; -2 '时，a 项消失了，我们剩下的是 “b & rarr; 3”。 当我们设定s&rarr-1“，我们可以解“A&rarr-1“”。 把这些值放回我们原来的方程式中，我们得到：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s) = \frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}}

请记住，由于拉普拉斯变换是线性算子，因此以下关系成立:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{s + 1}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{3}{(s + 2)}\right]}

求这些较小项的逆变换应该比求整个函数的逆变换更容易。 部分分数展开对于求S域方程的逆来说是一个有用的，而且常常是必要的工具。

示例: 四阶制

如果我们在S域中有一个给定的方程：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=\frac{79s^2+916s+1000}{s(s+10)^3}}

我们可以将其扩展为几个较小的分数，如下所示：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=\frac{A(s+10)^3+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^2}{s(s+10)^3}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{}{}A(s+10)^3+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^2=79s^2+916s+1000}

消去项在这里还不够，我们将打开括号 (分隔为多行):

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle As^3+30As^2+300As+1000A+Bs+}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle Cs^2+10Cs+Ds^3+20Ds^2+100Ds}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle =79s^2+916s+1000}

让我们比较一下系数：

A + D = 0
30A + C + 20D = 79
300A + B + 10C + 100D = 916
1000A = 1000

而解问题则给了我们：

A = 1
B = 26
C = 69
D = -1

我们从拉普拉斯变换表中知道以下关系成立:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} \to \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) }

我们可以将A、B、C和D的值插入到扩展中，并尝试将其转换为上面的形式。

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=A\frac{1}{s}+B\frac{1}{(s+10)^3}+C\frac{1}{(s+10)^2}+D\frac{1}{s+10}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=1\frac{1}{s}+26\frac{1}{(s+10)^3}+69\frac{1}{(s+10)^2}-1\frac{1}{s+10}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(t)=u(t)+13t^2e^{-10t}+69te^{-10t}-e^{-10t}}

示例：复根

给定以下传递函数:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=\frac{7s+26}{s^2-80s+1681}=\frac{As+B}{s^2-80s+1681}}

当分母的解是复数时， 我们使用复数表示法A+iB，如3+i4，而不是使用单个字母(例如D) - 对于实数:

As + B = 7s + 26
A = 7
B = 26

我们需要将其分成两部分，如下所示（不改变其值）：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ } →解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } }
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ } →解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } }

让我们从分母开始(对于两个分数)：

s2 - 80s + 1681 的根是“ 40 + j9 ”和“ 40 - j9 ”。

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (s+a)^2+\omega^2=(s-40)^2+9^2} →解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{As+B}{(s-40)^2+9^2}}

现在分子是：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{As+40A-40A+B}{(s-40)^2+9^2}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{As-40A}{(s-40)^2+9^2}+\frac{B+40A}{(s-40)^2+9^2}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\frac{(s-40)}{(s-40)^2+9^2}+\frac{B+40A}{9}\frac{9}{(s-40)^2+9^2}}

拉普拉斯逆变换：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(t)=7e^{40t}cos(9t)+34e^{40t}sin(9t)}

示例: 六阶制

给定以下传递函数：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(s)=\frac{90s^2-1110}{s(s-3)(s^2-12s+37)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{Cs+D}{s^2-12s+37}}

我们乘以分母，使方程式有理：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A(s-3)(s^2-12s+37)+Bs(s^2-12s+37)+(Cs+D)s(s-3)}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle =90s^2-1110}

然后我们合并项:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle As^3-15As^2+73As-111A+Bs^3-12Bs^2+37Bs+Cs^3-3Cs^2+Ds^2-3Ds}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle =90s^2-1110}

比较系数：

A + B + C = 0
-15A - 12B - 3C + D = 90
73A + 37B - 3D = 0
-111A = -1110

现在，我们可以解出A、B、C和D：

A = 10
B = -10
C = 0
D = 120

现在为 “拟合”:

“s2-12s + 37”的词根是“6 + j”和“6 - j”

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\frac{1}{s}+B\frac{1}{s-3}+C\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+D\frac{1}{(s-6)^2+1^2}}

不需要拟合D的分数，因为它是完整的；不需要费心拟合C的分数，因为C等于零。

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10\frac{1}{s}-10\frac{1}{s-3}+0\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+120\frac{1}{(s-6)^2+1^2}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{}{}f(t)=10u(t)-10e^{3t}+120e^{6t}sin(t)}

终值定理

终值定理允许我们在时间接近无穷大时，从S域方程确定时域方程的值。 在控制工程中，最常用的是终值定理来确定系统的稳态值。 函数极点的实部必须 <0。


[终值定理（拉普拉斯）]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \lim_{t \to \infty}x(t) = \lim_{s \to 0} s X(s)}

从我们关于系统度量的一章中，你可能会认识到系统在无限时间的价值就是系统的稳定时间。 稳态值和预期输出值之间的差我们记得是系统的稳态误差。 利用终值定理，我们可以在复S域中求出系统的稳态值和稳态误差。

示例：终值定理

求以下多项式的最终值:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle T(s) = \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2}}

我们可以应用终值定理：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} }

我们获得的值为：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} = 0 \cdot \frac{1+0}{1+2\cdot 0+0^2}=0 \cdot 1 = 0 }

初值定理

与终值定理类似，初值定理允许我们从S域方程确定系统的初值（时间零点的值）。 初值定理最常用于确定系统的起始条件或“初始条件”。


[初值定理 (拉普拉斯)]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(0) = \lim_{s \to \infty} s X(s)}

常见变换

我们现在将向你展示我们已经学习过的三个函数的变换： 单位台阶、单位坡道和单位抛物线。 单位阶跃函数的变换式如下：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathcal{L}[u(t)] = \frac{1}{s}}

由于单位斜率是单位步长的积分，因此我们可以将上述结果乘以1/s来得到单位斜率的变换：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathcal{L}[r(t)] = \frac{1}{s^2}}

再次，我们可以乘以1/s得到单位抛物线的变换:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathcal{L}[p(t)] = \frac{1}{s^3}}

傅里叶变换

创建缩略图出错：无法创建临时缩略图文件

Wikipedia has related information at Fourier Transform

傅立叶变换与拉普拉斯变换非常相似。 傅里叶变换使用的假设是，任何有限时域信号都可以分解为正弦（正弦波和余弦波）信号的无限和。 在此假设下，傅里叶变换将时域信号转换为其频域表示，作为径向频率的函数， 傅立叶变换是这样定义的:


[Fourier Transform]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(j\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_0^\infty f(t) e^{-j\omega t} dt}

模板:MATLAB CMD

现在我们可以证明，当下列条件成立时，傅里叶变换等价于拉普拉斯变换：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}s = j\omega\end{matrix}}

因为拉普拉斯变换和傅立叶变换是如此密切相关，所以对所有问题都使用这两种变换没有多大意义。 因此，本书将集中讨论几乎所有主题的拉普拉斯变换，除了那些直接涉及频率值的问题。 对于频率问题，使用傅里叶变换表示法使问题变得容易得多。

与拉普拉斯变换一样，傅立叶变换已被广泛列出。 除了常见变换表外，傅里叶变换的属性也可在[[Control Systems/Transforms Appendix|附录]中找到。

傅里叶逆变换

模板:MATLAB CMD

傅立叶逆变换 定义如下: 模板:-

[Inverse Fourier Transform]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{F(j\omega)\right\} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega}

这种变换与傅里叶变换几乎相同。

复杂平面

文件:S Plane.svg

利用上述等价，我们可以证明拉普拉斯变换总是等于傅立叶变换，如果变量s是虚数。 然而，如果“s”是实变量或复变量，则拉普拉斯变换是不同的。 因此，我们通常将s定义为既有实部又有虚部，因此：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}s = \sigma + j\omega\end{matrix}}

我们可以证明 s = j & omega; 如果 & sigma;= 0。

由于变量s可以分解为两个独立的值，因此将变量“s”绘制在其自己的特殊“s平面”上通常具有一定的价值。 S平面在水平轴上绘制变量&sigma；，在垂直轴上绘制j&omega；的值。 此轴排列显示在右侧。

模板:-

欧拉公式

微积分有一个重要的结果，被称为欧拉公式或“欧拉关系”。 此重要公式关联了 “e”，“j”，& pi;，1和0的重要值:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}e^{j\pi} + 1 = 0\end{matrix}}

然而，这个结果是从下面的方程式得出的，设&omega；为&pi；：


[Euler's Formula]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \begin{matrix}e^{j\omega} = \cos(\omega) + j\sin(\omega)\end{matrix}}

这个公式将在本书的一些章节中广泛使用，所以现在熟悉它是很重要的。

MATLAB

MATLAB symbolic工具箱包含自动计算拉普拉斯和傅立叶变换的函数。 函数laplace和函数fourier可分别用于计算输入函数的laplace和fourier变换。 例如，代码： 

t = sym('t');
fx = 30*t^2 + 20*t;
laplace(fx)

产生输出: 

ans =

60/s^3+20/s^2

我们将在附录中详细讨论这些函数。

进一步阅读

← System Modeling

Control Systems

Transfer Functions →

取自“http://wiki.foofun.cn//index.php?title=Control_Systems/Transforms&oldid=1234”