Control Systems/System Identification

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系统

从某种意义上说，系统是接受输入并产生输出的设备。 系统可以被认为是对输入进行操作，以产生输出。 输出与输入之间存在着某种关系，这种关系称为系统响应。 系统响应通常可以用系统输入和系统输出之间的数学关系来建模。

系统属性

根据系统表现出的特定属性，物理系统可以分为许多不同的类别。 其中一些系统分类非常容易使用，并且具有大量的分析理论基础。 一些系统分类非常复杂，尚未进行任何程度的成功研究。 通过正确识别系统的属性，可以选择某些分析和设计工具与系统一起使用。

本书的早期部分将主要关注 “线性时间不变” (LTI) 系统。 LTI系统是最容易使用的一类系统，并且有许多特性使其成为理想的研究对象。 本章讨论系统的一些性质。

本书后面几章将介绍时变系统和非线性系统。 时变系统和非线性系统都是当前研究的非常复杂的领域，并且都很难正确分析。 不幸的是，现实世界中的大多数物理系统都是时变的、非线性的，或者两者兼而有之。

有关系统辨识和最小二乘技术的介绍可在此处找到。 参数识别技术的介绍可以在这里找到。

初始时间

系统的初始时间，是指之前没有输入的时间。 通常，系统的初始时间定义为零，这将大大简化分析。 有些技术，如拉普拉斯变换，要求系统的初始时间为零。 系统的初始时间通常由t₀表示。

任何变量在初始时间t₀ 的值将以0下标表示。 例如，时间t₀时变量x的值由下式给出：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t_0) = x_0}

同样，任何带有正下标的时间t都是时间点，按升序排列为“t₀”：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle t_0 \le t_1 \le t_2 \le \cdots \le t_n}

因此t₁ 发生在t₀ 之后，而t₂ 发生在两个点之后。 在上面类似的方式中，具有正下标的变量(除非将索引指定为向量)也出现在该时间点：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t_1) = x_1}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t_2) = x_2}

这对时间t中的所有点都有效。

可加性

如果输入的总和导致输出的总和，则系统满足 可加性 的属性。 根据定义：输入解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)} 的结果是输出解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)} 。 要确定系统是否为可加系统，请使用以下测试：

给定一个接受输入x并输出值y的系统f，假设两个输入（x₁和x₂）产生两个输出：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(x_1)}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_2 = f(x_2)}

现在，创建一个复合输入，该复合输入是前面输入的总和：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_3 = x_1 + x_2}

则该系统是可加的，如果以下等式为真:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_3 = f(x_3) = f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) = y_1 + y_2}

满足此属性的系统称为可加。 可加系统是有用的，因为简单输入的总和可以用来分析系统对较复杂输入的响应。

例: 正弦波

给出以下等式：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \sin(3x(t))}

将输入总和创建为：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t) = x_1(t) + x_2(t)}

并构造产出的预期总和:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = y_1(t) + y_2(t)}

现在，将这些值代入我们的等式，检验等式：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1(t) + y_2(t) = \sin(3[x_1(t) + x_2(t)])}

不满足等式，因此正弦运算不是可加运算。

同质性

如果按某一因素调整的输入产生按该因素调整的输出，则系统满足同质性的条件。 根据定义: 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle ax_1} 的输入导致 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle ay_1} 的输出。 换句话说，要查看函数“f()”是否为“同质性”，请执行以下测试：

用任意输入x激发系统f，以产生输出y:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y = f(x)}

现在，创建第二个输入x₁，用乘法因子C对其进行缩放（C是任意常量值），并生成相应的输出y₁：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(Cx_1)}

现在，指定x等于x₁：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_1 = x}

那么，为了使系统是同质的，以下等式必须成立:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(Cx) = Cf(x) = Cy}

均质系统在许多应用中都很有用，尤其是在增益或放大的应用中。

示例：直线

给定直线的方程式:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y = f(x) = 2x + 3}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(Cx_1) = 2(Cx_1) + 3 = C2x_1 + 3}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_1 = x}

比较这两个结果，很容易看出它们并不相等：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = C2x + 3 \ne Cy = C(2x + 3) = C2x + C3}

因此，这个方程不是同质的。

练习:

证明可加性意味着同质性，但同质性并不意味着可加性。

线性

如果一个系统满足可加性和均匀性的条件，它就被认为是“线性的”。 简而言之，如果满足以下条件，则系统是线性的：

取两个任意输入，并产生两个任意输出:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(x_1)}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_2 = f(x_2)}

现在，输入的线性组合应该产生输出的线性组合：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(Ax_1 + Bx_2) = f(Ax_1) + f(Bx_2) = Af(x_1) + Bf(x_2) = Ay_1 + By_2}

这种可加性和同质性的条件称为叠加。 如果系统满足叠加的条件，则系统是线性的。

示例：线性微分方程

{{TextBox|1=下面的方程是线性的：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)}

要确定这个系统是否是线性的，构造一个新的复合输入:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t) = Ax_1(t) + Bx_2(t)}

现在，创建预期的复合输出：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = Ay_1(t) + By_2(t)}

将这两个代入我们原来的方程式：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{d[Ay_1(t) + By_2(t)]}{dt} + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)}

将导数运算符因子化，例如:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{d}{dt}[Ay_1(t) + By_2(t)] + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)}

最后，将各种复合项转换为各自的变量，以证明该系统是线性的：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)}

根据记录，导数和积分是线性运算符，而常微分方程式通常是线性方程式。

记忆性

如果系统的输出依赖于过去的输入（或未来的输入！），则称系统具有“记忆性”到系统中。 如果一个系统的输出只依赖于当前的输入，那么这个系统就叫无记忆。 无记忆系统更易于使用，但是具有记忆的系统在数字信号处理应用中更为常见。

有记忆的系统称为“动态”系统，没有记忆的系统称为“静态”系统。

因果关系

因果关系是一种与记忆非常相似的属性。 如果一个系统只依赖于过去和/或当前的输入，则称之为因果。 如果一个系统的输出只依赖于未来的输入，那么这个系统被称为反因果。 如果输出取决于过去和/或当前和将来的输入，则系统称为非因果关系。

{{#invoke:Message box|mbox}}

时间不变性

如果输入和输出信号之间的系统关系不依赖于时间的流逝，则称系统为时不变。 如果输入信号 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t)} 产生输出 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t)} ，则任何时移输入 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t + \delta)} ，结果时移输出 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t + \ delta)} 如果系统的传递函数不是时间的函数，则可以满足此属性，除非由输入和输出表示。 如果系统是时不变的，那么系统块是具有任意延迟的可交换的。 我们将在后面讨论时不变系统的这一方面。

要确定系统f是否时变，请执行以下测试:

将任意输入x应用于系统，并产生任意输出y：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = f(x(t))}

将第二个输入x₁ 应用于系统，并产生第二个输出:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1(t) = f(x_1(t))}

现在，指定x₁等于第一个输入x，时间偏移给定的常数值δ：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_1(t) = x(t - \delta)}

最后，如果y₁等于y移位相同的值δ，则系统是时不变的：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1(t) = y(t - \delta)}

LTI系统

如果一个系统满足时间不变性和线性的要求，它就被认为是线性时不变（LTI）系统。 LTI系统是最重要的系统类型之一，在本书的开头章节中几乎只讨论它们。

不是LTI的系统在实践中更常见，但分析起来要困难得多。

集总

如果满足以下两个条件之一，则称一个系统是“集总”的：

1. 系统可以处于有限数量的状态。
2. 状态变量的数量是有限的。

“状态”和“状态变量”的概念相对较高级，将在现代控制的讨论中更详细地讨论它们。

未集中的系统称为 “分布式”。 分布式系统的一个简单例子是具有延迟的系统，即具有无限多个状态变量的 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A(s)y(t)=B(s)u(t-\tau)} (在这里，我们使用解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle s} 表示Laplace变量)。 但是，尽管分布式系统相当普遍，但它们在实践中很难进行分析，并且几乎没有可用的工具来使用此类系统。 幸运的是，在大多数情况下，可以用Pade近似对延迟进行充分建模。 本书不会过多地讨论分布式系统。

松弛性

如果系统是因果系统，并且在初始时间t₀系统的输出为零，即系统中没有存储能量，则称系统为松弛的。 输出由此后施加的输入单独且唯一地激发。

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t_0) = f(x(t_0)) = 0}

就微分方程而言，松弛系统被称为具有 “零初始状态”。 没有初始状态的系统更容易处理，但没有松弛的系统可以经常修改为近似松弛的系统。

稳定性

控制系统工程师经常会说，一个不稳定的系统已经“爆炸”了。 一些物理系统实际上会在不稳定时破裂或爆炸。

稳定性是系统中一个非常重要的概念，但它也是最难证明的函数性质之一。 系统稳定性有几个不同的标准，但最常见的要求是，当系统受到有限输入时，系统必须产生有限输出。 例如，如果将5伏电压施加到给定电路的输入端，则最好使电路输出不接近无穷大，并且电路本身不会熔化或爆炸。 这种类型的稳定性通常被称为“有界输入、有界输出”稳定性或BIBO。

还有许多其他类型的稳定，其中大多数是基于BIBO稳定的概念。 由于稳定性是一个如此重要而复杂的主题，因此本文的整个部分都专门研究它。

输入和输出

系统还可以根据系统拥有的输入数量和输出数量进行分类。 例如，将电视视为一个系统。 系统有两个输入：电源线和信号电缆。 它只有一个输出：视频显示。 一个输入一个输出的系统称为 单输入、单输出，或SISO。 具有多个输入和多个输出的系统称为多输入、多输出或MIMO。

这些系统将在后面更详细地讨论。

练习:

根据上述SISO和MIMO的定义，确定首字母缩写词SIMO和MISO的含义。

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